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Science des nombres (arithmétique).   Avant J.-C. Vers 3000 arithmétique chaldéenne ; arithmétique commerciale sumérienne. 2200-1350 tablettes de Nippour (Babylone) : utilisent la base 60 [encore utilisée dans le calcul du temps (60 secondes, 60 minutes) et dans la mesure des angles (1 cercle = 6 × 60^o)]. 1650 papyrus Rhind en Égypte : utilise la numération de base 10 (décimale). Connaît les signes + (2 jambes marchant vers la gauche) et - (2 jambes marchant vers la droite). 1102 traité d'arithmétique chinois, le Chou-Pei : les calculs se font avec le boulier (connu en Inde, au Moyen-Orient, en Égypte ; introduit dans le monde gréco-romain sous le nom d'abacus). VI^e s. Pythagore (Grec, vers 570-vers 480) crée l'arithmétique moderne. Numération décimale [les chiffres sont les 10 premières lettres de l'alphabet (seront supplantés par les chiffres romains) ; les calculs se font ordinairement avec des tables à calculer, appelées plus tard échiquiers car elles contiennent des cases rangées 10 par 10 : il y a la rangée des unités, des dizaines, des centaines, etc. ; les chiffres sont représentés par des cailloux placés sur les cases, d'où le mot de calcul (du latin calculus, petit caillou)]. La table de multiplication ou « table de Pythagore », qui donnait par écrit les multiples des premiers nombres en utilisant les notations grecques (lettres de l'alphabet), a été conservée avec des chiffres romains. Démontre un théorème établissant une relation entre les longueurs des côtés des triangles rectangles. Après J.-C. IV^e s. 1^er traité occidental complet d'arithmétique : Arithmetica, de Diophante d'Alexandrie. 610 traité de l'Indien Aryabhata : extraction des racines carrées et cubiques ; règle de trois : utilise 9 chiffres, le zéro figure par un point. Vers 900 les Arabes utilisent le système indien et remplacent le point du zéro par un petit cercle. 980 Gerbert d'Aurillac (Fr., 938-1003) va à Cordoue, s'initie aux chiffres arabes ; devenu pape Sylvestre II en 999, il favorise leur essor et réintroduit en Occident l'abacus gréco-romain, utilisé par les Arabes (les mathématiciens sont nommés abacistes). Mais l'usage de la table à calculer reste prédominant, et le calcul écrit est ignoré. 1202 Léonard de Pise (Leonardo Fibonacci, 1175-1240) répand les méthodes de calcul arabe en Occident (Traité de l'abacus) ; adopte les chiffres arabes et le zéro [rien (sunya en sanscrit, sifr en arabe, traduit en zephirium par Fibonacci, fixé en zéro en 1491)] ; crée la « suite de Fibonacci » : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. (chaque nombre étant la somme des 2 précédents). 1545 Ars Magna de Jérôme Cardan (Gerolamo Cardano, It., 1501-76) : résolution des équations du 3^e degré. 1550 manuel d'arithmétique d'Adam Riese (All., 1492-1559) : contribue à l'abandon de la table à calculer, du boulier, des chiffres romains, et à l'adoption en Occident du calcul écrit. 1579 Canon mathematicus de François Viète (Fr., 1540-1603). 1585 dans De Thiende [La Disme (ou le Dixième)] Simon de Bruges (Simon Stevin, 1548-1620) présente les fractions décimales et leurs applications courantes connues par les Arabes depuis Al Uqlidisi (952) et en Occident par Emmanuel Bonfils de Tarascon (1350), Regiomontanus (1463), Christoph Rudolff (1525), Elie Mizrachi (1535) et François Viète (1579).

Géométrie.   Avant J.-C. VI^e s. Thalès de Milet (Grec, vers 625-550) inscrit un triangle dans un cercle, trouve la hauteur d'un objet d'après la longueur de son ombre, démontre l'égalité des angles opposés par le sommet et énonce un théorème : « Des parallèles projettent d'une droite sur une autre des longueurs proportionnelles. » V^e s. Euclide (Grec, vers 450-380) expose son « postulat » dans son traité, Les Éléments : d'un point extérieur à une droite, on ne peut mener qu'une parallèle à cette droite. III^e s. Archimède (Grec, 287-212), dans son traité Mesure du cercle, donne la valeur de π (pi) [traité perdu, mais connu indirectement par le mathématicien arabe al-Biruni (973-après 1050)]. II^e s. Hipparque de Nicée, dit le Rhodien (Grec, 180-135 av. J.-C.) divise le cercle en 360 degrés, selon les normes babyloniennes (voir col. a). Après J.-C. 1637 René Descartes (Fr., 1596-1650) pose les fondements de la géométrie analytique (utilisant le calcul algébrique). 1639 Traité des coniques de Blaise Pascal (Fr., 1623-62) ; à 16 ans, il retrouve les lois d'Apollonios de Perga (Grec, 262-180 av. J.-C.). 1767 Gaspard Monge (Fr., 10-4-1746/28-7-1818) crée la géométrie descriptive. 1768 Jean-Henri Lambert (Fr., 1728-77) crée la géométrie non euclidienne [Autres théoriciens : János Bolyai (Hongrois, 1802-60), Nikolaï Lobatchevski [(Russe, 1792-1856) géométrie hyperbolique (1830) : la surface du plan est comparable en chacun de ses points à une selle de cheval] ; Bernhard Riemann (All., 1826-66) développe les travaux de Carl Friedrich Gauss (All., 1777-1855). Création d'une géométrie elliptique (le plan est défini comme la surface d'une sphère de rayon infini)]. 1798 Caspar Wessel (Danois, 1745-1818) lance la notion de vecteur. 1822 Traité des propriétés projectives des figures de Jean Victor Poncelet (1788-1867). 1872 programme d'Erlangen de Felix Klein (All., 1849-1925) définit la géométrie comme l'étude de groupes de transformation qu'il intègre dans une théorie algébrique. 1946 Hermann Weyl (All., 1885-1955) qualifie de géométrie symplectique (du grec : qui entrelace) la géométrie traitant essentiellement d'objets mathématiques issus de la mécanique [remonte aux travaux de Joseph-Louis Lagrange (Fr., 1736-1813)]. 1965 Benoît Mandelbrot (Fr. d'origine polonaise, né 1924) étudie les objets fractals (du latin frangere, briser, et fractus, irrégulier, morcelé) qui sont à l'origine d'une nouvelle géométrie décrivant la nature mieux que la géométrie traditionnelle.

Algèbre.   De l'arabe al-djabr, réduction, par le latin médiéval algebra. Av. J.-C. II^e millénaire les Babyloniens (tablettes de Nippour) connaissent l'équation du 1^er degré à plusieurs inconnues. Vers 1700 papyrus de Rhind (Égypte) : équations du 1^er et 2^e degré résolues. Apr. J.-C. IV^e s. Diophante d'Alexandrie adopte les termes de x et y pour les inconnues des équations. 825 Mohamed al-Kharezmi (Arabe, vers 780-850) invente l'élimination des termes égaux de chaque côté du signe =, et le transfert des termes avec changement de signe ; son nom latinisé a donné algorithme. Vers 1070-1100 Omar Khayyam (Persan, vers 1047-vers 1122) : équations 2^e et 3^e degré. XVI^e s. équations du 3^e et 4^e degré : les Italiens Scipione del Ferro (1465-1526), Niccolo Fontana (dit Tartaglia ; vers 1500-57) et Jérôme Cardan (1501-76). 1572 Raffaele Bombelli (It., 1526-72) invente les nombres complexes. 1591 traité de François Viète   (voir col. b) : Isagoge in artem analyticum (« Introduction à l'analyse »), fondant l'algèbre moderne ; les inconnues sont désignées par des consonnes et les données par des voyelles. 1637 Descartes, dans une annexe au Discours de la méthode, distingue la géométrie de l'algèbre et crée le système de notations algébriques encore utilisé. 1656 John Wallis (Angl., 1616-1703) publie des études sur la géométrie infinitésimale et les nombres complexes. L'algèbre se divise alors en de nombreuses branches :

Calcul des probabilités : PRÉCURSEURS : Luca Pacioli (It., 1445-1510), Jérôme Cardan  (voir col. b). Créateurs : Blaise Pascal (Fr., 1623-62), Georges de Méré (Fr., 1610-85), Pierre de Fermat (voir encadré col. a). 1^er  traité complet : De ratiociniis in ludo aleae (« Spéculations sur le jeu de dés », 1656) de Christiaan Huygens (Holl., 1629-95). Fondateurs des probabilités modernes : Tchebytchev (1821-94), Andreï Markov (Russe, 1856-1922), Émile Borel (Fr., 1871-1956), Andreï Kolmogorov (Russe, 1903-1987).

Calcul infinitésimal : Pierre de Fermat (voir encadré col. a) en 1636 puis théoriciens : Gottfried Wilhelm Leibniz [(All., 1646-1716), nouvelle méthode pour déterminer les maximums et les minimums (1684)] ; Isaac Newton [(Angl., 1642-1727), méthode des fluxions et des séries infinies (1671)].

Algèbre logique ou « algèbre de Boole » : créée en 1846 par George Boole (Angl., 1815-64).

En 1826 Niels Henrik Abel (Norvégien, 1802-29) prouve que l'équation du 5^e degré ne peut être résolue.

Trigonométrie. PRÉCURSEURS : Aristarque de Samos (Grec, 300-230 av. J.-C.) et Hipparque de Nicée (voir col. b). Claude Ptolémée (Grec, 80-160) rédige l'Almageste. Mohamed al-Kharezmi (voir col. b) établit les 1^res tables de sinus ; Habasih (Arabe) celle des tangentes. Al-Battani (Arabe, 858-922) conçoit la trigonométrie sphérique appliquant la trigonométrie classique à l'espace à 3 dimensions. 1770 1^er exposé complet par Johann Heinrich Lambert (Fr., 1728-77), devant l'Académie de Berlin : Trigonométrie hyperbolique.

Logarithmes.   III^e s. av. J.-C. Archimède (voir col. b) dans l'Arenaria (« Études sur les grains de sable »), calculant le nombre de grains de sable nécessaire pour remplir l'Univers, donne un nombre équivalent à 10 puissance 51 : il est près de concevoir les logarithmes modernes. XV^e s. Nicolas Chuquet (Fr., 1445-1500) définit les progressions géométriques et arithmétiques ; il invente les exposants négatifs. 1614 John Napier ou Neper (Écossais, 1550-1617) invente le mot et le concept de logarithme dans sa Description de la stupéfiante règle des logarithmes. Son système permet de remplacer les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions (en utilisant des nombres plus petits). 1617 Henry Briggs (Angl., 1561-1631) invente les logarithmes de base 10 (appelés décimaux ou vulgaires). 1624 il donne les tables logarithmiques de 1 à 20 000 et de 90 000 à 101 000 avec 14 décimales [1^res tables logarithmiques (très sommaires) par Jobst Bürgi (Suisse, 1552-1632), en 1620].

Fonctions.   XVII^e s. Gottfried Wilhelm Leibniz (voir ci-dessus) remarque que certaines variables comme la distance et le temps peuvent être liées et exprimées l'une en fonction de l'autre. Jean Bernoulli (Fr., 1667-1748) fait connaître les méthodes de calcul de Leibniz et les introduit en France en 1691-99. XVIII^e s. Leonhard Euler (Suisse, 1707-83) développe ces travaux, donne la 1^re théorie générale du calcul de variations, reprécise la notion de fonction et rassemble les résultats dans ses Institutiones calculi differentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1768-70). 1851 Bernhard Riemann  (voir col. b) pose les bases de la topologie et élabore la théorie du calcul de « fluctions ». 1858 calcul matriciel : Arthur Cayley (Angl., 1821-95).  Structure de groupe : Augustin Cauchy (Fr., 1789-1857) étudie les groupes de permutations de racines d'équations algébriques. Évariste Galois (Fr., 26-10-1811/30-5-1832). 1870-80 Sophus Lie (Norvégien, 1842-99) élabore la théorie des groupes continus de transformations ou « groupes de Lie ». 1879 Gottlob Frege (All., 1848-1925) poursuit dans cette voie. 1903 Bertrand Russel (Angl., 1872-1970) révélera ses travaux.

Mathématiques modernes.   PRÉCURSEURS : Évariste Galois rédigea sa Lettre à Auguste Chevalier, résumant sa théorie des équations, la nuit précédant le duel où il fut tué ; Carl Friedrich Gauss  (voir p. 214 b) ; Georg Cantor (All., 1845-1918) : Théorie des ensembles  (1872-79) ; Niels Abel  (Norv., 1802-1829) : Théorie des fonctions elliptiques. XIX^e s.-XX^e s. Topologie : partie des mathématiques qui étudie les notions, a priori intuitives, de continuité et de limite. David Hilbert (All., 1862-1943) introduit les « voisinages ». Maurice Fréchet (Fr., 1878-1973) définit la notion de « métrique ». Frédéric Riesz (Hongrois, 1880-1956) la notion de « topologie ». Henri Cartan (Fr., né 1904) définit les « filtres ». Théorie de la mesure : Henri Lebesgue (Fr., 1875-1941) accepte l'existence paradoxale d'ensembles contenant une infinité de points et ayant pourtant une mesure nulle. Analyse non standard : inventée par  Abraham Robinson (Amér., 1918-74) après 1960.

Statistique : mot créé en 1746 par Gottfried Achenwall (économiste all., 1719-72). Adolphe Quetelet (Belg., 1796-1874) conçut en 1853 que la statistique était fondée sur le calcul des probabilités.

Calculateurs prodiges. II^e s. Nikomachos de Gerasa (Palestinien) mentionné par l'auteur grec Julien. 1664 Mathieu le Coq (8 ans). John Wallis (voir p. 214 c), mathématicien. XVIII^e s. Jededish Buxton (Angl., 1702-62), ouvrier illettré. Tom Fuller (Amér.), esclave illettré jusqu'à 70 ans. André-Marie Ampère (Fr., 1775-1836), savant. Bidder (Angl.). Gauss (All., 1777-1855), à 3 ans mathématicien. XIX^e s. Zerald Colburn (vers 1810). Johann Martin Dase (1824-61). 1837 Mangiamele, pâtre sicilien, 10 ans. Louis Fleury, aveugle-né dégénéré. 1840 Henri Mondeux (Neuvy-le-Roi, 1826-vers 1862), fils de paysans, sans instruction. Présenté à l'Académie des sciences. 1852 Prolongeau, sans bras ni jambes. 1939 Maurice Dagbert. Jacques Inaudi (Onorato, Piémont, 1867-1950), petit (1,52 m). A 6 ans, cireur de chaussures à Marseille, ne savait ni lire ni écrire. Engagé comme chasseur au café du Louvre à Marseille. M. Dombey (voyageur de commerce) l'amène à Paris. Attire l'attention de Camille Flammarion et donne des séances à la salle des Capucines puis au théâtre Robert-Houdin. 1892 présenté à l'Académie des sciences de Paris. 1893 étudié par le Pr Charcot. Il apprend à lire et à écrire et publie le Calcul facile pour tous.